Download this article
KESEBANGUNAN BANGUN DATAR
Dua Bangun Datar yang Sebangun
Perhatikan Gambar Persegi panjang ABCD dan PQRSmempunyai sisi-sisi yang bersesuaian, yaitu
Panjang sisi kedua persegi panjang tersebut mempunyai perbandingan yang senilai.
Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegi panjang mempunyai perbandingan yang sama, yaitu
Keempat sudut dari persegi panjang ABCD dan PQRS adalah 90" sehingga kedua persegi panjang tersebut mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu
ﮮ A = ﮮP, ﮮ B = ﮮQ, ﮮC = ﮮ R. dan ﮮ D = ﮮ S
Dapat dikatakan bahrva persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PORS dan ditulis ABCD ~ PQRS.
Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.
Coba hitunglah perbandingan dari masing-masing sisi-sisinya. Kamu akan memperoleh nilai perbandingan sisi-sisinya sama dengan 1.
Dari hasil perbandingan di atas diperoleh :
Dua bangun bersisi lurus dikatakan kongruen jika :
Contoh :
Diketahui dua bangun datar di bawah sebangun. Tentukan nilai x dan y !
Jawab :
Perbandingan sisi yang bersesuaian yang diketahui adalah 21/9 = 7/3 maka sisi yang lain juga harus mempunyai perbandingan yang sama. Nilai x dan y dapat diperoleh dari perbandingan di atas, yaitu :
Jadi, x = 3 cm dan y = 6 cm.
Dengan demikian, diperoleh : 
Ukurlah sudut-sudut dari kedua segitiga itu dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu ﮮ A dengan ﮮ D. ﮮ B dengan ﮮ E, dan ﮮ C dengan ﮮF Jika pengukuranmu benar kamu akan memperoleh hasil ﮮ A = ﮮ D ﮮ B = ﮮ E.dan ﮮ C = ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai dan sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun.
Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai. Lakukan pengukuran panjang sisi-sisi dari kedua segitiga tersebut dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sisi-sisi yang bersesuaian. Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama dan sudut yang bersesuaian sama besar Maka ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut :
a AD2 = BD x CD;
b. AB2 = BD x BC;
c. AC2 = CD x CB.
Contoh :
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.
Jawab:
a. AC2 = AB2+BC2
= 62 + 82
= 36+64
= 100
AC = √100 = 10
b. AB2 = AD x AC
62 = AD x 10
36 = AD x l0
AD =36/10
= 3,6 cm
DC = l0 cm - 3,6cm
= 6,4 cm
c. BD2 = AD x DC
= 3,6 x 6,4
= 23,04
BD = √23,04 = 4,8 cm
Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Tentukan EF ?
jawab:
Perhatikan Gambar dibawah.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa ruas garis .DE // AB sehingga diperoleh
ﮮ ACB = ﮮ DCE (berimpit)
ﮮ CAB = ﮮ CDE (sehadap)
Karena dua sudut yang bersesuaian dari ∆ ABC dan ∆ DEC sama besar maka kedua segitiga itu sebangun. Karena sebansun maka berlaku
Kedua ruas dikalikan (a + d)(c + b) sehingga diperoleh
Contoh:
Dalam ∆ PRT, PT//QS, hitunglah QR dan ST!
Jawab :
diselesaikan.
Contoh:
Sebuah kawat baja dipancangkan untuk menahan sebuah tiang listrik yang berdiri tegak lurus. Sebuah tongkat didirikan tegak lurus sehingga ujung atas tongkat menyentuh kawat. Diketahui panjang tongkat 2 m, jarak tongkat ke ujung bawah kawat 3 m dan jarak tiang listrik ke tongkat 6 m. Berapa tinggi tiang listrik?
Jawab:
Misalnya, tinggi tiang listrik adalah t sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.
Jadi, tinggi listrik adalah 6 cm.
Pengubinan pada lantai yang telah kita kenal dapat digunakan untuk memahami pengertian kongruen. Pola pengubinan yang kita gunakan adalah pengubinan bangun segitiga. Perhatikan Gambar disamping Jika dilakukan pergeseran atau pemutaran terhadap salah satu ubin maka segitiga tersebut akan menempati ubin yang lain dengan tepat. Keadaan tersebut menunjukkan bahwa ubin yang satu dengan ubin yang lain mempunyai bentuk sama (sebangun) dan mempunyai ukuran yang sama. Segitiga-segitiga yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama disebut segitiga-segitiga yang kongruen (sama dan sebangun).
Untuk dapat memahami sifat-sifat dua segitiga yang kongruen, perhatikan Gambar diatas ini. Karena segitiga-segitiga yang kongruen mempunyai bentuk dan ukuran yang sama maka masing-masing segitiga jika diimpitkan akan tepat saling menutupi satu sama lain.
Gambar di samping menunjukkan ∆, PQT dan ∆ QRS kongruen. Perhatikan panjang sisi-sisinya. Tampak bahwa PQ = QR, QT = RS. dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga sama panjang.
Selanjutnya, perhatikan besar sudut-sudutnya. Tampak bahwa ﮮ TPQ = ﮮ SQR, ﮮ PQT = ﮮ QRS , dan ﮮ PTQ = ﮮ QSR sehingga sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut sama besar.
Dari uraian di atas. dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut.
Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian juga sama besar, yaitu ﮮ A= ﮮ D, ﮮ B= ﮮ E,dan ﮮ C= ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
Pada gambar di atas, diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan ﮮ CAB = ﮮ EDF. Apakah ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan maka akan tepat berimpit sehingga diperoleh :
Hal ini berarti ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun sehingga diperoleh
ﮮA = ﮮD, ﮮB = ﮮ E, dan ﮮC = ﮮE Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
Pada gambar di atas, ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai sepasang sisi bersesuaian yang sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, ﮮ A = ﮮ D. Dan ﮮB = ﮮE. Karena ﮮA = ﮮD dan ﮮB =ﮮE maka ﮮC = ﮮF. Jadi. ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun. Karena sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian rnempunyai perbandingan yang senilai.
Contoh:
Perhatikan gambar layang-layang pada Gambar. Sebutkan pasangan segitiga-segitiga yang kongruen!
Jawab:
Pasangan segi tiga-segi tiga yang kongruen adalah :
∆ AED dengan ∆ ABE:
∆ DEC dengan ∆ BEC:
∆ ACD dengan ∆ ABC.
a) ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE
Bukti; Karena ∆ ABD sama kaki dan AE adalah garis bagi maka diperoleh AD = AB (diketahui)
ﮮ DAE = ﮮ BAE
AE = AE (berimpit)
Maka terbukti bahwa ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE. (Sisi, Sudut, Sisi)
b) ∆ DEC kongruen dengan ∆ BEC
Bukti; Karena ∆ BCD sama kaki dan CE adalah garis bagi maka diperoleh CD = CB (diketahui)
ﮮ DCE = ﮮ BCE
CE = CE (berimpit)
Jadi. terbukti bahwaA DEC kongruen dengan L ABE. (Sisi. Sudut. Sisi)
∆ ACD konsruen dengan ∆ ABC
Contoh:
Perhatikan Gambar
Diketahui ∆ KNM kongruen dengan ∆ NLM! Panjang KN = 5 cm, KM = l0 cm, ﮮ NKM = 60'. Tentukan panjang sisi dan sudut yang belum diketahui!
Jawab:
Karena ∆ KNM dan ∆ NLM kongruen maka KM = ML = l0 cm dan NL = KN = 5 cm. Dengan demikian, panjang MN dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Pythagoras.
Panjang sisi kedua persegi panjang tersebut mempunyai perbandingan yang senilai.
Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegi panjang mempunyai perbandingan yang sama, yaitu
Keempat sudut dari persegi panjang ABCD dan PQRS adalah 90" sehingga kedua persegi panjang tersebut mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu
ﮮ A = ﮮP, ﮮ B = ﮮQ, ﮮC = ﮮ R. dan ﮮ D = ﮮ S
Dapat dikatakan bahrva persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PORS dan ditulis ABCD ~ PQRS.
Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.
- Panjang sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai.
- Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Dua Bangun yang Sama dan Sebangun
Perhatikan dua lembar uang kertas yang nilainya sama. Misalnya Rp.5.000.00. Apakah uang tersebut panjang dan lebarnya sama?Coba hitunglah perbandingan dari masing-masing sisi-sisinya. Kamu akan memperoleh nilai perbandingan sisi-sisinya sama dengan 1.
Dari hasil perbandingan di atas diperoleh :
- sisi-sisi yang bersesuaian dari uangtersebut sarna panjang.
- sudut-sudut yang bersesuaian dari uang tersebut sama besar (90o).
Dua bangun bersisi lurus dikatakan kongruen jika :
- sisi-sisi yang bersesuaian dari bangun tersebut sama panjang:
- sudut-sudut yang bersesuaian dari bangun tersebut sama besar
Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Bangun yang Sebangun
Kita dapat menggunakan sifat dari dua bangun datar yang sebangun. yaitu perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai untuk menghitung panjang salah satu sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun.Contoh :
Diketahui dua bangun datar di bawah sebangun. Tentukan nilai x dan y !
Jawab :
Perbandingan sisi yang bersesuaian yang diketahui adalah 21/9 = 7/3 maka sisi yang lain juga harus mempunyai perbandingan yang sama. Nilai x dan y dapat diperoleh dari perbandingan di atas, yaitu :
Jadi, x = 3 cm dan y = 6 cm.
SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN
Syarat Segitiga-Segitiga Sebangun
Pada Gambar dibawah tampak dua segitiga, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut adalah sebagai berikut:
Dengan demikian, diperoleh : 
Ukurlah sudut-sudut dari kedua segitiga itu dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu ﮮ A dengan ﮮ D. ﮮ B dengan ﮮ E, dan ﮮ C dengan ﮮF Jika pengukuranmu benar kamu akan memperoleh hasil ﮮ A = ﮮ D ﮮ B = ﮮ E.dan ﮮ C = ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai dan sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun.
Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai. Lakukan pengukuran panjang sisi-sisi dari kedua segitiga tersebut dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sisi-sisi yang bersesuaian. Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama dan sudut yang bersesuaian sama besar Maka ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut :
- Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.
- Dua pasang sudut yang bersesuaian yang sama besar.
Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku
Dalam segitiga siku-siku terdapat kesebangunan khusus. Perhatikan gambar di samping. Pada segitiga siku-siku di bawah.
a AD2 = BD x CD;
b. AB2 = BD x BC;
c. AC2 = CD x CB.
Contoh :
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.
Jawab:
a. AC2 = AB2+BC2
= 62 + 82
= 36+64
= 100
AC = √100 = 10
b. AB2 = AD x AC
62 = AD x 10
36 = AD x l0
AD =36/10
= 3,6 cm
DC = l0 cm - 3,6cm
= 6,4 cm
c. BD2 = AD x DC
= 3,6 x 6,4
= 23,04
BD = √23,04 = 4,8 cm
Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga yang Sebangun
Konsep kesebangunan dua segitiga dapat digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi segitiga sebangun yang belum diketahui. Coba perhatikan contoh berikut! Contoh :
Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Tentukan EF ?jawab:
Garis-Garis Sejajar pada Sisi Segitiga
Pada Gambar Dibawah, ∆ ABC dan ∆ DEC sebangun. Berikut akan ditentukan perbandingan ruas garis dari kedua segitiga tersebut.Perhatikan Gambar dibawah.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa ruas garis .DE // AB sehingga diperoleh
ﮮ ACB = ﮮ DCE (berimpit)
ﮮ CAB = ﮮ CDE (sehadap)
Karena dua sudut yang bersesuaian dari ∆ ABC dan ∆ DEC sama besar maka kedua segitiga itu sebangun. Karena sebansun maka berlaku
Kedua ruas dikalikan (a + d)(c + b) sehingga diperoleh
Contoh:
Dalam ∆ PRT, PT//QS, hitunglah QR dan ST!Jawab :
Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Kesebangunan
Konsep dan sifat-sifat kesebangunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah atau soal cerita yang berkaitan dengan kesebangunan. Untuk menyelesaikan soal cerita dapat dibantu dengan membuat sketsa atau gambar. Dari gambar itu, barudiselesaikan.
Contoh:
Sebuah kawat baja dipancangkan untuk menahan sebuah tiang listrik yang berdiri tegak lurus. Sebuah tongkat didirikan tegak lurus sehingga ujung atas tongkat menyentuh kawat. Diketahui panjang tongkat 2 m, jarak tongkat ke ujung bawah kawat 3 m dan jarak tiang listrik ke tongkat 6 m. Berapa tinggi tiang listrik?
Jawab:
Misalnya, tinggi tiang listrik adalah t sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.
Jadi, tinggi listrik adalah 6 cm.
Segitiga-Segitiga yang Kongruen
Pengertian Segitiga yang Kongruen
Pengubinan pada lantai yang telah kita kenal dapat digunakan untuk memahami pengertian kongruen. Pola pengubinan yang kita gunakan adalah pengubinan bangun segitiga. Perhatikan Gambar disamping Jika dilakukan pergeseran atau pemutaran terhadap salah satu ubin maka segitiga tersebut akan menempati ubin yang lain dengan tepat. Keadaan tersebut menunjukkan bahwa ubin yang satu dengan ubin yang lain mempunyai bentuk sama (sebangun) dan mempunyai ukuran yang sama. Segitiga-segitiga yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama disebut segitiga-segitiga yang kongruen (sama dan sebangun).
Sifat-Sifat Dua Segitiga yang Kongruen
Untuk dapat memahami sifat-sifat dua segitiga yang kongruen, perhatikan Gambar diatas ini. Karena segitiga-segitiga yang kongruen mempunyai bentuk dan ukuran yang sama maka masing-masing segitiga jika diimpitkan akan tepat saling menutupi satu sama lain.
Gambar di samping menunjukkan ∆, PQT dan ∆ QRS kongruen. Perhatikan panjang sisi-sisinya. Tampak bahwa PQ = QR, QT = RS. dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga sama panjang.
Selanjutnya, perhatikan besar sudut-sudutnya. Tampak bahwa ﮮ TPQ = ﮮ SQR, ﮮ PQT = ﮮ QRS , dan ﮮ PTQ = ﮮ QSR sehingga sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut sama besar.
Dari uraian di atas. dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut.
- Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
- Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Syarat Dua Segitiga Kongruen
Dua segitiga dikatakan kongruen jika dipenuhi salah satu dari tiga syarat berikut.- Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi).
- Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu sama besar (sisi, sudut, sisi).
- Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut).
- Ketiga Pasang Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (Sisi, Sisi, Sisi)
Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian juga sama besar, yaitu ﮮ A= ﮮ D, ﮮ B= ﮮ E,dan ﮮ C= ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
- Dua Sisi.yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Dibentuk oleh Sisi-Sisi itu Samar Besar (Sisi, Sudut, Sisi)
Pada gambar di atas, diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan ﮮ CAB = ﮮ EDF. Apakah ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan maka akan tepat berimpit sehingga diperoleh :
Hal ini berarti ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun sehingga diperoleh
ﮮA = ﮮD, ﮮB = ﮮ E, dan ﮮC = ﮮE Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
- Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Menghubungkan Kedua Sudut itu Sama Panjang (Sudut, Sisi. Sudut)
Pada gambar di atas, ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai sepasang sisi bersesuaian yang sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, ﮮ A = ﮮ D. Dan ﮮB = ﮮE. Karena ﮮA = ﮮD dan ﮮB =ﮮE maka ﮮC = ﮮF. Jadi. ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun. Karena sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian rnempunyai perbandingan yang senilai.
Contoh:
Perhatikan gambar layang-layang pada Gambar. Sebutkan pasangan segitiga-segitiga yang kongruen!
Jawab:
Pasangan segi tiga-segi tiga yang kongruen adalah :
∆ AED dengan ∆ ABE:
∆ DEC dengan ∆ BEC:
∆ ACD dengan ∆ ABC.
a) ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE
Bukti; Karena ∆ ABD sama kaki dan AE adalah garis bagi maka diperoleh AD = AB (diketahui)
ﮮ DAE = ﮮ BAE
AE = AE (berimpit)
Maka terbukti bahwa ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE. (Sisi, Sudut, Sisi)
b) ∆ DEC kongruen dengan ∆ BEC
Bukti; Karena ∆ BCD sama kaki dan CE adalah garis bagi maka diperoleh CD = CB (diketahui)
ﮮ DCE = ﮮ BCE
CE = CE (berimpit)
Jadi. terbukti bahwaA DEC kongruen dengan L ABE. (Sisi. Sudut. Sisi)
∆ ACD konsruen dengan ∆ ABC
Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga-Segitiga kongruen
Dengan menggunakan sifat-sifat dua segitiga yang kongruen dapat ditentukan sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar.Contoh:
Perhatikan Gambar
Diketahui ∆ KNM kongruen dengan ∆ NLM! Panjang KN = 5 cm, KM = l0 cm, ﮮ NKM = 60'. Tentukan panjang sisi dan sudut yang belum diketahui!
Jawab:
Karena ∆ KNM dan ∆ NLM kongruen maka KM = ML = l0 cm dan NL = KN = 5 cm. Dengan demikian, panjang MN dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Pythagoras.
Unsur-Unsur Tabung dan Kerucut
Pembahasan sisi bangun ruang kali ini hanya ditujukan pada sisi bangun sebagai sekat yang membatasi antara bagian dalam dan bagian luar bangun ruang itu. Perhatikan Gambar. Gambar itu menunjukkan sebuah tabung yang terbentuk dari sebuah segi empat ABCD yang diputar terhadap sumbu AD sejauh 3600, atau satu putaran penuh.
Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut.
- Ada dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing-masing berbentuk lingkaran yang berpusat di A dan D.
- Jarak alas dan tutup disebut tinggi tabung. Tinggi tabung dinotasikan dengan t.
- Jari-jari lingkaran dari alas dan tutup adalah AB, sedangkan diameter nya BB' =2AB. Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d.
- Selimut tabung merupakan bidang lengkung.
Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut.
- Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat di titik A.
- AC disebut tinggi kerucut.
- Jari-jari lingkaran alas, yaitu AB dan diameternya BB' = 2AB.
- Sisi miring BC disebut apotema atau garis pelukis.
- Selimut kerucut berupa bidang lengkung.
LUAS DAN VOLUME BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
1. TABUNG1.1. Pengertian Tabung
Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi yang kongruen dan sejajar yang berbentuk lingkaran serta sebuah sisi lengkung.
1.2. Unsur-unsur Tabung
Tabung memiliki 2 rusuk dan 3 sisi.
Berkas:Tbdh.jpeg
1.3. Luas dan volume tabung
•Luas permukaan tabung atau luas tabung:
L = luas sisi alas + luas sisi tutup + luas selimut
tabung
= π r2 + π r2 + 2 π r t
= 2 π r2 + 2 π r t
= 2 π r (r + t)
•Luas tabung tanpa tutup :
Ltanpa tutup = luas sisi alas + luas selimut
= π r2 + 2 π r t
•Volume tabung :
V = luas alas x tinggi
= π r2 x t
= π r2 t
2. KERUCUT
2.1. Pengertian Kerucut
Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung.
2.2. Unsur-unsur Kerucut
Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .
2.3. Luas dan volume kerucut
• Luas permukaan kerucut atau luas kerucut :
L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
= π r2 + π r s
= π r (r + s)
•Volume kerucut :
V = 1/3 x luas alas x tinggi
= 1/3 x π r2 x t
= 1/3 π r2t
3. BOLA
3.1. Pengertian Bola
Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung/kulit bola.
3.2. Unsur-unsur Bola
Bola memiliki satu sisi.
3.3. Luas dan volume Bola
•Luas bola :
L = 4 x luas lingkaran
= 4 x π r2
= 4 π r2
•Volume bola :
V = 4 x volume kerucut
= 4 x 1/3 π r2 t
karena pada bola, t = r maka
= 4 x 1/3 π r2 r
= 4 x 1/3π r3
= 4/3 π r3
Melukis Jaring-Jaring Tabung dan Kerucut Serta Menentukan Luasnya
Jaring-Jaring dan Luas Tabung
Gambar dibawah menunjukkan sebuah tabung dengan panjang jari-jari alas dan tutupnya r dan tinggi t. Untuk mengetahui bentuk jaring-jaring suatu tabung, lakukan kegiartan berikut!
- Ambil kaleng susu atau benda-benda lain yang berbentuk tabung (ukurannya jangan terlalu besar).
- Jiplaklah bentuk tutupnya pada selembar kertas.
- Tandai kaleng tersebut untuk posisi tertentu. Kemudian gelindingkan kaleng tersebut sampai kembali ke tanda yang diberikan sebelumnya.
- Buatlah persegi panjang yang terbentuk dari kaleng dengan panjang adalah lintasan dari A ke- B. yaitu keliling bidang alas dan lebarnya setinggi kaleng tcrsebut.
- Jiplaklah bentuk alas kaleng tersebut tepat di bawah persegi panjang.
Jaring-jaring tersebut terdiri atas
- selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan panjang = keliling alas tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t:
- dua buah lingkaran berjari-jari r. Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut.
= 2πr x tinggi tabung
= 2πrt
Setelah memperoleh luas selimut tabung, dapat ditentukan pula luas permukaan tabung.
Luas permukaan tabung = luas lingkaran alas + selimut tabung + luas lingkaran tutup
= πr2+πrt + r2
= 2πr2 +2πrt
= 2πr(r+t)
Dapatkah kalian menentukan rumus luas tabung tanpa tutup Untuk setiap tabung dengan tinggi tabung t dan jari-jari alas tabung r berlaku rumus berikut.
Luas selimut tabung = 2πrt
Luas permukaan tabung = 2 πr(r + t)
Contoh:
Sebuah tabung mempunyai tinggi 13 cm dan jari-jari alasnya 7 cm. Tentukan luas permukaan tabung.
Jawab :
Tinggi tabung = 13 cm dan jari-jari alas = 7 cm.
Luas permukaan tabung = 2πr(r + t)
= 2 x 22/7 x 7 x (7 + 13)
= 44 x 20
= 880
Jadi luas permukaan tabung adalah 880 cm2
Jaring-Jaring dan Luas Kerucut
Gambar diatas menunjukkan sebuah kerucut dengan puncak P, tingginya t, jari-jari lingkaran alas r, dan garis pelukis kerucut s. Jaring-jaring kerucut dapat digambarkan dengan cara berikut.
- Buatlah juring lingkaran dengan sudut 1200 pada suatu kertas, kemudian potong juring tersebut.
- Buatlah suatu kerucut dengan menghubungkan garis pelukis PQ ke PQ'.
- Jiplaklah lingkaran alas kerucut yang terbentuk pada suatu kertas.
- Buka kembali kerucut dan jiplakkan tepat di atas lingkaran alas.
- lingkaran alas dengan pusat O dan jari-jari r;
- selimut kerucut yang berupa juring lingkaran PQQ' dengan jari-jari adalah garis pelukis selimut s dan panjang busur = 2πr.
Jadi, luas selimut kerucut = luas juring PQQ' = πrs
Telah diketahui bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas selimut kerucut dan lingkaran alas sehingga luas sisi kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut.
Luas sisi kerucut = luas selimut kerucut + luas lingkaran alas
= πrs + πr2
= πr(s + r)
Untuk setiap kerucut dengan panjang garis pelukiss dan jari-jari alas kerucut r berlaku rumus berikut.
Luas selimut kerucut = πrs
Luas sisi kerucut = πr (r + s)
Contoh:
Sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alasnya 6 cm dan tingginya 8 cm. Hitunglah luas sisi kerucut tersebut ( π = 3,14).
Jawab :
Jari-jari alas = r = 6cm
Tinggi kerucut = t = 8 cm
s2 = r2 + t2
s2 = 62+ 82 = 36 + 64 = 100
s =√100 = 10
Luas sisi kerucut = πr(r + s)
= 3,14 x 6 x (6 + 10) = 3,14 x 6 x l6 = 301,44
Jadi. luas sisi kerucut adalah 301,44 cm2
Bola
Untuk menentukan luas sisi bola dapat dilakukan percobaan dengan menggunakan sebuah bola, tabung, dan seutas tali. Perhatikan Gambar. Pada gambar itu terdapat dua jenis bangun ruang sisi lengkung yaitu tabung dan bola. Tinggi tabung dan diameter tabung sama dengan diameter bola. Pada bola dililitkan seutas tali hingga menutup seluruh permukaan bola. kemudian tali tersebut dililitkan pada selimut tabung dan ternyata tali tersebut tepat melilit pada selimut tabung. Dari uraian di atas dapat disirnpulkan bahwa luas sisi bola sama dengan luas selimut tabung.
Luas sisi bola = luas selimut tabung
= 2πrt
= 2πr x 2r
= 4πr2
Contoh:
Hitunglah luas sisi sebuah bola jika diketahui jari-jarinya = l0 dm.
Jawab:
Luas sisi bola = 4πr2
= 4 x 3,14 x 10
= 1.256 dm2
Jadi. luas sisi bola adalah 1.256 dm2.
Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
Volume adalah isi atau besarnya benda dalam ruang.Volume prisma = luas alas x tinggi
Volume limas = 1/3 x luas alas x tinggi
Volume Tabung
Gambar tersebut (a) menunjukkan prisma segi banyak beraturan, yaitu prisma yang alasnya berbentuk segi banyak dan beraturan. Menghitung volume tabung dapat dipandang dari sebuah prisma segi banyak beraturan yang rusuk-rusuk alasnya diperbanyak sehingga bentuk prisma makin mendekati tabung seperti Gambar tersebut (b). Rumus umum volume tabung sama dengan luas alas dikalikan tinggi. Karena tabung memiliki alas berupa lingkaran maka volume tabung sama dengan luas alas lingkaran dikalikan tinggi.
Untuk setiap tabung berlaku rumus berikut.
V = πr2 t atau V = 1/4 πd2 t
dengan V = volume tabung, r = jari-jari alas lingkaran, d = diameter lingkaran, dan t = tinggi
Contoh :
Diketahui tabung dengan jari-jari 14 cm dan tingginya 20 cm.Tentukan volume tabung !
Jawab:
Volume tabung = πr2 t
= 22/7 x l42 x 20
= 12.320
Jadi, volume tabung = 12.320 cm3.
Volume Kerucut
Berkas:Kerucut 4.jpg Gambar tersebut (a) menunjukkan bangun limas segi banyak beraturan, yaitu limas yang alasnya berbentuk segi banyak dan beraturan. Sebuah kerucut dapat dipandang sebagai limas segi banyak beraturan yang rusuk alasnya diperbanyak sampai membentuk lingkaran seperti Gambar disamping (b). Volume kerucut sama dengan 1/3 x luas alas x tinggi.Karena alas kerucut berbentuk lingkaran maka luas alasnya adalah luas lingkaran. Dengan demikian, volume kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut.
V =1/3πr2 t
dengan V = Volume kerucut
r = jari-jari lingkaran alas
t = tinggi kerucut
Karena r = 1/2 d (d adalah diameter lingkaran) maka bentuk lain rumus volume kerucut adalah sebagai berikut.
Volume kerucut = 1/12πd2t
Contoh:
Sebuah kerucut mempunyai jari-jari 9 cm dan tinggi 4 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut (π = 3,14)l
Jawab:
Volume BoIa
Gambar diatas merupakan gambar setengah bola dengan,jari-jari r. dan menunjukkan dua buah kerucut dengan jari-jari r dan tinggi r. Jika dilakukan percobaan dengan menuangkan cairan pada kedua kerucut sampai penuh, kemudian cairan dari kedua kerucut tersebut dituangkan dalam setengah bola maka cairan tersebut tepat memenuhi bentuk setengah bola. Dari percobaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Volume bola =4/3πr3 dengan r = jari-jari bola
Karena r = 1/2 d maka bentuk lain rumus volume bola adalah sebagai berikut.
STATISTIKA
Pernah dengar kata statistika? Pasti pernah dong. Bagi kalian yang duduk di kelas 9 semester ganjil ini, pas banget tuh sedang belajar statistika di kelas. Apakah kalian sudah memahami materi statistika yang kalian pelajari? Coba ungkapkan dengan bahasamu sendiri, apa sih statistika itu? Trus, kamu tahu ga bedanya statistika dan statistik? (eit..jawabannya bukan ada yang diakhiri huruf “a” dan yang tidak lo...). kalo kalian belum tahu, wajar sih karena memang tidak semua orang mendalami bidang kajian ini walaupun peranannya dalam kehidupan kita sangat penting. Yuk kita diskusi lebih banyak tentang istilah-istilah dalam statistika dan kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
Hal pertama agar bisa memahami materi statistika, tentu saja kalian harus tahu pengertian statistika itu sendiri.
Salah satu definisi menyebutkan bahwa statistika adalah metode ilmiah untuk menyusun, meringkas, menyajikan dan menganalisa data, sehingga dapat ditarik suatu kesimpulan yang benar dan dapat dibuat keputusan yang masuk akal berdasarkan data tersebut.
Jika suatu kesimpulan data sudah dihimpun, pada statistika deskriptif kita hendak menyimpulkan data itu dalam beberapa hal. Pertama kita hendak membuat tabel, misalnya tabel frekuensi, tabel frekuensi kumulatif dan lain-lain yang mengatur data kasar itu. Juga kita akan melihat diagram atau grafik yang dapat memberi gambaran mengenai keseluruhan data itu, misalnya diagram lambang (piktogram), diagram batang, diagram lingkaran, histogram, ogive dan lain-lain. Kemudian kita hendak menghitung karakteristik data yang dapat mencakup semua data itu, misalnya rata-rata, median, modus dan lain-lain.
Jangkauan = data terbesar - data terkecil
Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan distribusi frekuensi data tunggal. Agar pembahasan lebih jelas, perhatikan contoh berikut.
Pada sensus penduduk suatu desa didapatkan data jumlah anak yang dimiliki oleh tiap keluarga sebagai berikut.
Data di atas belum tersusun secara teratur sehingga sulit untuk mengetahui informasi data itu, seperti jumlah keluarga yang mempunyai 4 anak dan keluarga yang mempunyai anak lebih dari 3. Agar lebih mudah dipahami, data tersebut disajikan dalam tabel frekuensi data tunggal. Pada tabel frekuensi data tunggal, tiap-tiap baris pada kolom nilai atau data hanya memuat satu nilai atau data. Tabel dibagi menjadi 3 kolom. Kolom pertama adalah datanya. Kolom kedua adalah turus, yaitu cara mencacah data menggunakan simbol I. setiap menemukan data yang bersesuaian dengan data yang diperoleh. Kolom ketiga adalah frekuensi, yaitu jumlah turus atau simbol I pada data tertentu.
Nilai ulangan Matematika siswa kelas IX suatu SMP adalah sebagai berikut.
Dari data terlihat bahwa nilai teninggi dan terendah mempunyai range (angkauan) yang besar, yaitu 99 - 44 = 55. Jika data tersebut disajikan menggunakan tabel frekuensi data tunggal menjadi tidak praktis maka perlu disajikan menggunakan pengelompokan data. Pada tabel frekuensi data berkelompok, tiap-tiap baris pada kolom nilai atau data memuat beberapa nilai atau data. Istilah-istilah yang harus dipahami dalam pembuatan tabel frekuensi data yang dikelompokkan adalah sebagai berikut.
Tabel frekuensi di atas memiliki
a. banyak kelas interval (pengelompokan) = 7 ;
b. panjang kelas interval (banyak data pada satu interval) = 8.
1. Pada penyajian data dalam bentuk tabel frekuensi data yang dikelompokkan, data terkecil dan terbesar harus masuk dalam kelas interval.
2. Banyak kelas interval dapat ditentukan menggunakan aturan Sturgess, yaitu banyak kelas interval = I + 3,3 log n dengan n adalah banyak data.
Piktogram adalah suatu cara untuk menampilkan besar data menggunakan gambar yang sesuai dengan datanya. Cara ini paling sederhana dan jelas untuk menyajikan suatu data. Salah satu kelemahan dalam penggunaan piktogram adalah sulitnya membedakan setengah dan satu pertiga gambar atau jumlahnya tidak dapat diwakili dengan satu unit gambar sehingga penggunaan piktogram sangat terbatas.
b. Diagram Batang
Diagram batang adalah cara menyajikan data dalam bentuk batang-batang. Tiap batang lebarnya sama, sedangkan tinggi batang menyatakan frekuensi dari data yang bersangkutan. Untuk membuat diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar (horizontal) menunjukkan jenis kategorinya, sedangkan sumbu tegak (vertikal) menunjukkan frekuensinya. Skala sumbu mendatar tidak harus sama dengan skala sumbu tegak. Letak batang yang satu dengan yang lain dibuat terpisah.
c. Diagram Lingkaran
Penyajian data juga dapat dilakukan dengan menggunakan lingkaran. Daerah lingkaran menggambarkan keseluruhan data. Data disajikan dengan menggunakan juring atau sektor, di mana besar sudut pusat dari juring sesuai dengan perbandingan setiap data terhadap keseluruhan data.
d. Diagram Garis
Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh dari waktu ke waktu secara teratur dalam interval waktu tertentu. Diagram garis digunakan untuk mengetahui pertumbuhan/perkembangan suatu hal secara kontinu.
Hal pertama agar bisa memahami materi statistika, tentu saja kalian harus tahu pengertian statistika itu sendiri.
Salah satu definisi menyebutkan bahwa statistika adalah metode ilmiah untuk menyusun, meringkas, menyajikan dan menganalisa data, sehingga dapat ditarik suatu kesimpulan yang benar dan dapat dibuat keputusan yang masuk akal berdasarkan data tersebut.
Jika suatu kesimpulan data sudah dihimpun, pada statistika deskriptif kita hendak menyimpulkan data itu dalam beberapa hal. Pertama kita hendak membuat tabel, misalnya tabel frekuensi, tabel frekuensi kumulatif dan lain-lain yang mengatur data kasar itu. Juga kita akan melihat diagram atau grafik yang dapat memberi gambaran mengenai keseluruhan data itu, misalnya diagram lambang (piktogram), diagram batang, diagram lingkaran, histogram, ogive dan lain-lain. Kemudian kita hendak menghitung karakteristik data yang dapat mencakup semua data itu, misalnya rata-rata, median, modus dan lain-lain.
Pengumpulan Data
Data adalah sesuatu yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Data berbentuk bilangan disebut data kuantitatif sedangkan data yang berbentuk bukan bilangan disebut data kualitatif. Data kuantitatif terdiri atas data diskrit dan data kontinu.Data diskrit adalah data yang diperoleh dengan membilang, mencacah, atau menghitung, misalnya data jumlah penduduk dan data jumlah anak dalam keluarga. Adapun data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur, misalnya data tinggi badan dan data berat badan.Jangkauan = data terbesar - data terkecil
Penyajian Data
Penyajian Data Menggunakan Tabel
Tabel Frekuensi Data TunggalPenyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan distribusi frekuensi data tunggal. Agar pembahasan lebih jelas, perhatikan contoh berikut.
Pada sensus penduduk suatu desa didapatkan data jumlah anak yang dimiliki oleh tiap keluarga sebagai berikut.
| 1 | 4 | 3 | 4 | 5 | 4 | 3 | 6 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 4 | 1 | 6 | 5 | 3 | 4 | 3 |
| 4 | 4 | 5 | 4 | 4 | 4 | 6 | 5 | 4 | 4 |
| 2 | 4 | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 | 3 | 4 | 1 |
| Jumlah anak | Turus | Frekuensi |
| 1 | //// | 4 |
| 2 | ////// | 6 |
| 3 | //////// | 8 |
| 4 | /////////////// | 15 |
| 5 | //// | 4 |
| 6 | /// | 3 |
| jumlah | 40 |
- Tabel Frekuensi Data yang Dikelompokkan
Nilai ulangan Matematika siswa kelas IX suatu SMP adalah sebagai berikut.
| 44 | 54 | 85 | 92 | 73 | 99 | 91 | 96 | 74 |
| 75 | 70 | 57 | 83 | 49 | 57 | 52 | 64 | 73 |
| 82 | 90 | 70 | 89 | 91 | 67 | 52 | 64 | 73 |
| 82 | 59 | 65 | 79 | 82 | 89 | 53 | 52 | 50 |
Dari data terlihat bahwa nilai teninggi dan terendah mempunyai range (angkauan) yang besar, yaitu 99 - 44 = 55. Jika data tersebut disajikan menggunakan tabel frekuensi data tunggal menjadi tidak praktis maka perlu disajikan menggunakan pengelompokan data. Pada tabel frekuensi data berkelompok, tiap-tiap baris pada kolom nilai atau data memuat beberapa nilai atau data. Istilah-istilah yang harus dipahami dalam pembuatan tabel frekuensi data yang dikelompokkan adalah sebagai berikut.
- Kelas interval : pengelompokan beberapa nilai atau data.
- Banyak kelas interval : banyaknya pengelompokan dari seluruh data atau nilai yang ada.
- Panjang interval : banyaknya data pada suatu kelas interval. Panjang interval untuk semua kelas interval pada suatu tabel harus sama.
| Nilai | Turus | Frekuensi |
| 44-51 | /// | 3 |
| 52-59 | //////// | 8 |
| 60-67 | //// | 4 |
| 68-75 | ////// | 6 |
| 76-83 | ///// | 5 |
| 84-91 | /////// | 7 |
| 92-99 | /// | 3 |
| jumlah | 36 |
a. banyak kelas interval (pengelompokan) = 7 ;
b. panjang kelas interval (banyak data pada satu interval) = 8.
1. Pada penyajian data dalam bentuk tabel frekuensi data yang dikelompokkan, data terkecil dan terbesar harus masuk dalam kelas interval.
2. Banyak kelas interval dapat ditentukan menggunakan aturan Sturgess, yaitu banyak kelas interval = I + 3,3 log n dengan n adalah banyak data.
Penyajian Data Menggunakan Diagram
a. PiktogramPiktogram adalah suatu cara untuk menampilkan besar data menggunakan gambar yang sesuai dengan datanya. Cara ini paling sederhana dan jelas untuk menyajikan suatu data. Salah satu kelemahan dalam penggunaan piktogram adalah sulitnya membedakan setengah dan satu pertiga gambar atau jumlahnya tidak dapat diwakili dengan satu unit gambar sehingga penggunaan piktogram sangat terbatas.
b. Diagram Batang
Diagram batang adalah cara menyajikan data dalam bentuk batang-batang. Tiap batang lebarnya sama, sedangkan tinggi batang menyatakan frekuensi dari data yang bersangkutan. Untuk membuat diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar (horizontal) menunjukkan jenis kategorinya, sedangkan sumbu tegak (vertikal) menunjukkan frekuensinya. Skala sumbu mendatar tidak harus sama dengan skala sumbu tegak. Letak batang yang satu dengan yang lain dibuat terpisah.
c. Diagram Lingkaran
Penyajian data juga dapat dilakukan dengan menggunakan lingkaran. Daerah lingkaran menggambarkan keseluruhan data. Data disajikan dengan menggunakan juring atau sektor, di mana besar sudut pusat dari juring sesuai dengan perbandingan setiap data terhadap keseluruhan data.
d. Diagram Garis
Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh dari waktu ke waktu secara teratur dalam interval waktu tertentu. Diagram garis digunakan untuk mengetahui pertumbuhan/perkembangan suatu hal secara kontinu.
Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan sekelompok data adalah nilai atau data yang dapat mewakili sekelompok data tersebut atau sering juga disebut rata-rata. Nilai rata-rata pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak di tengah-tengah dalam suatu kelompok data yang disusun terurut atau dengan kata lain mempunyai kecenderungan memusat. Misalkan suatu data tinggi badan beberapa siswa (dalam cm) adalah sebagai berikut.135 140 150 150 150 155 157 160
Dari data di atas tampak bahwa sebagian besar tinggi siswa di sekitar 150. Dengan demikian, 150 disebut ukuran pemusatan dari data tinggi badan siswa. Ada beberapa jenis ukuran pemusatan (ukuran tendensi sentral), antara lain mean. modus. dan median.
Mean (Rataan Hitung)
Mean dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Mean biasanya dilambangkan dengan Jika data terdiri atas n, yaitu x1, x2, x3, ...xn maka mean dari data tersebut dapat dirumuskan sebasai berikut.
Modus
Data yang kalian peroleh biasanya bervariasi, ada yang muncul sekali ada yang muncul lebih dari sekali. Data yang paling sering muncul disebut modus. Modus adalah data yang paling sering muncul atau frekuensinya paling tinggi. Pengertian lain adalah nilai data yang sering muncul (mempunyai frekuensi terbesar). Modus dapat ada ataupun tidak ada. Kalaupun ada dapat lebih dari satu.Median
Median adalah nilai yang terletak di tengah dari data yang terurut. Jika banyak data ganjil, median adalah nilai paling tengah dari data yang sudah diurutkan. Jika banyak data genap, median adalah mean dari dua bilangan yang di tengah setelah data diurutkan.Median adalah nilai tengah setelah data terurut naik. Pengeritan lain adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan menurut besarnya. Dengan ketentuan: Jika banyak data ganjil, maka median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
Contoh:
Diketahui data
7, 9, 8, 13, 12, 9, 6, 5 n = 8
Jawab :
Rata-rata = 5+6+7+8+9+9+12+13 = 8,625
8
Median
Data diurutkan terlebih dahulu menjadi
5 6 7 8 9 9 12 13
median = 8 + 9 = 8,5
2
Modus = 9 (sering banyak muncul)
Kuartil
Selain ketiga ukuran pemusatan data di atas, terdapat beberapa ukuran pemusatan lagi. Salah satunya adalah kuartil. Kuartil adalah nilai ukuran yang membagi data yang sudah terurut menjadi empat bagian yang sama. Contoh suatu data terurut seperti berikut.Data yang terdapat pada batas pengelompokan pertamadisebut kuartil bawah (Q1), batas pengelompokan kedua disebut kuartil tengah (Q2), dan batas pengelompokan ketiga disebut kuartil atas (Q3).
Data yang terdapat pada batas pengelompokan pertamadisebut kuartil bawah (Q1), batas pengelompokan kedua disebut kuartil tengah (Q2), dan batas pengelompokan ketiga disebut kuartil atas (Q3).
Untuk menentukan nilai-nilai kuartil, kita tentukan nilai kuartil tengah (Q2) terlebih dahulu. Nilai Q2 adalah median dari data tersebut. Selanjutnya, seluruh data yang berada di sebelah kiri Q2, digunakan untuk mencari Q1. Nilai Q1 adalah median dari data sebelah kiri Q2, sedangkan Q3 adalah median dari seluruh data di sebelah kanan Q2 Selain dengan cara di atas, nilai kuartil dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.
Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram dan Poligon Frekuensi adalah dua grafik yang menggambarkan distribusi frekuensi. Histogram terdiri dari persegi panjang yang alasnya merupakan panjang kelas interval, sedangkan tingginya sama dengan frekuensi masing-masing kelas interval.Poligon Frekuensi adalah suatu garis putus putus yang menghubungkan titik tengah ujung batang histogram. Biasanya ditambah dua segmen garis lain yang menghubungkan titik tengah ujung batang pertama dan terakhir dengan titik tengah kelas yang paling ujung dimana frekuensinya bernilai nol.
Pengertian Sampel dan Populasi
Dalam pengumpulan data, jika objek yang diteliti terlalu banyak atau terlalu luas maka sering kali orang menggunakan sebagian saja dari seluruh objek yang diteliti sebagai wakil. Sebagai objek yang dipilih itu disebut sampel, sedangkan seluruh objek tersebut dinamakan populasi. Untuk memahami pengertian populasi dan sampel, perhatikan contoh berikut.“ucok ingin membeli jeruk pada suatu kios buah di pasar. Agar yakin semua jeruk yang dibelinya manis, ucok tidak ingin mencicipi satu per satu jeruk yang ada di situ. ucok dapat mencicipi salah satu jeruk yang ada dalam keranjang untuk memastikan semua jeruk dalam keranjang rasanya manis”.
Dalam hal ini, jeruk yang dicicipi ucok disebut sampel dan semua jeruk dalam keranjang disebut populasi. Populasi adalah himpunan semua objek yang akan diteliti, sedangkan sampel adalah himpunan bagian dari populasi yang dijadikan pengamatan.
Pengertian Peluang
Peluang atau kemungkinan adalah kata-kata yang sering kita dengar dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya, “kemungkinan besar akan turun hujan, kemungkinannya kecil dia lulus karena tidak pernah belajar, berapa kemungkinannya petinju itu akan menang?”
Sebenarnya apa yang dimaksud peluang atau kemungkinan?. Untuk mengetahui jawabannya, pelajari materi dalam sub bab ini dengan baik. Pada sub bab ini akan dipelajari kejadian acak, nilai peluang suatu kejadian, titik sampel, dan ruang sampel.
“Suatu kejadian disebut acak jika terjadinya kejadian itu tidak dapat diketahui dengan pasti sebelumnya”.
Kejadian A adalah himpunan bagian dari S yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu.
Jika jumlah lemparan mata uang makin banyak, frekuensi relatif muncul gambar mata uang makin mendekati nilai ½ . Nilai ½ ini yang disebut nilai kemungkinan atau peluang dari munculnya gambar.
Definisi empirik
Nilai kemungkinan atau nilai peluang dari suatu kejadian adalah bilangan yang didekati oleh frekuensi relatifnya jika percobaan yang dilakukan sangat banyak sampai tak berhingga.
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan. Titik sampel adalah elemen-elemen anggota ruang sampel.
Ruang sampel dapat ditentukan menggunakan diagram pohon atau tabel sehingga anggota-anggota ruang sampel dapat didaftar secara mudah dan teratur.
1). Diagram pohon
Pada pelemparan dua buah mata uang, ruang sampelnya dapat ditentukan dengan cara diagram pohon.
Ruang sampel dari pelemparan dua buah mata uang adalah
S = {AA, AG. GA, GG} sehingga n(S) = 4.
Misal B menyatakan munculnya muka kembar
B = {AA, GG}
{AA, GG} merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S
2) Tabel
Ruang sampel dari pelemparan dua buah mata uang dapat juga ditentukan menggunakan tabel seperti berikut.
Ruang sampel dari pelemparan dua buah mata uang adalah :
S = {AA, AG, GA, GG} sehingga n(S) = 4.
Selanjutnya, apakah yang dimaksud dengan kejadia ? Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan.
Dalam pertandingan sepak bola, seorang wasit menggunakan uang logam untuk menentukan tim mana yang memperoleh bola pertama. Manakah yang mempunyai peluang lebih besar, munculnya angka atau gambar?
Pada pelemparan sebuah mata uang, karena bentuk mata uang simetris maka munculnya angka atau gambar mempunyai peluang yang sama. Sebelumnya sudah dibahas bahwa nilai peluang munculnya gambar didekati frekuensi relatif untuk percobaan yang sangat banyak adalah ½ . Nilai 1 pada pembilang menyatakan banyak kejadian muncul gambar, sedangkan 2 pada penyebut menyatakan banyak kejadian yang mungkin, yaitu angka atau gambar.
Definisi klasik
Jika masing-masing titik sampel dalam ruang sampel s berpeluang sama untuk muncul maka peluang munculnya peristiwa A dalam ruang sampel, S adalah P(A) =
n(A) = banyak anggota atau titik sampel kejadian A
n(S) = banyak anggota atau titik sampel ruang sampel S
Frekuensi harapan muncul kejadian A = P(A) x banyak percobaan
NOTICE: if you need this article please klik download
(jika kamu inginkan artikel ini klik download)
Sebenarnya apa yang dimaksud peluang atau kemungkinan?. Untuk mengetahui jawabannya, pelajari materi dalam sub bab ini dengan baik. Pada sub bab ini akan dipelajari kejadian acak, nilai peluang suatu kejadian, titik sampel, dan ruang sampel.
Kejadian Acak
Sebagai manusia, sering kali kita tidak mengetahui dengan pasti mengenai suatu kejadian, apalagi kalau kejadian itu mengenai sesuatu yang akan datang. Sebagai contoh, dapatkah kamu menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut?- Sebuah mata uang dilemparkan ke atas. Gambar atau angka yang akan muncul?
- Sebuah dadu dilempar ke atas. Apakah muncul permukaan dadu bernomor 6?
- Kalau kita mengambil satu set kartu bridge, apakah satu kartu yang kita ambil adalah kartu As?
“Suatu kejadian disebut acak jika terjadinya kejadian itu tidak dapat diketahui dengan pasti sebelumnya”.
Nilai Kemungkinan atau Nilai Peluang
Pada pelemparan mata uang sebanyak 5 kali, ternyata muncul angka sebanyak 2 kali. Perbandingan munculnya angka dan banyaknya pelemparan mata uang adalah 2/5 . Nilai 2/5 disebut frekuensi relatif munculnya angka pada pelemparan mata uang sebanyak 5 kali.
Kejadian A adalah himpunan bagian dari S yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu.
Jika jumlah lemparan mata uang makin banyak, frekuensi relatif muncul gambar mata uang makin mendekati nilai ½ . Nilai ½ ini yang disebut nilai kemungkinan atau peluang dari munculnya gambar.
Definisi empirik
Nilai kemungkinan atau nilai peluang dari suatu kejadian adalah bilangan yang didekati oleh frekuensi relatifnya jika percobaan yang dilakukan sangat banyak sampai tak berhingga.
Titik Sampel, Ruang Sampel, dan Kejadian
Pada eksperimen berupa pelemparan sebuah mata uang, kejadian yang mungkin adalah muncul angka (A) atau gambar (G). Jika semua kejadian itu dinyatakan dengan notasi himpunan, misalnya S maka S = {A, G}. Himpunan S disebut ruang sumpel, sedangkan titik A dan G disebut titik sampel. Banyaknya anggota dari ruang sampel S dinyatakan dengan n(S).Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan. Titik sampel adalah elemen-elemen anggota ruang sampel.
Ruang sampel dapat ditentukan menggunakan diagram pohon atau tabel sehingga anggota-anggota ruang sampel dapat didaftar secara mudah dan teratur.
1). Diagram pohon
Pada pelemparan dua buah mata uang, ruang sampelnya dapat ditentukan dengan cara diagram pohon.
Ruang sampel dari pelemparan dua buah mata uang adalah
S = {AA, AG. GA, GG} sehingga n(S) = 4.
Misal B menyatakan munculnya muka kembar
B = {AA, GG}
{AA, GG} merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S
2) Tabel
Ruang sampel dari pelemparan dua buah mata uang dapat juga ditentukan menggunakan tabel seperti berikut.
| Uang II | Uang I | |
| A | G | |
| A | AA | AG |
| G | GA | GG |
S = {AA, AG, GA, GG} sehingga n(S) = 4.
Selanjutnya, apakah yang dimaksud dengan kejadia ? Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan.
Kisaran Nilai Peluang
Nilai PeluangDalam pertandingan sepak bola, seorang wasit menggunakan uang logam untuk menentukan tim mana yang memperoleh bola pertama. Manakah yang mempunyai peluang lebih besar, munculnya angka atau gambar?
Pada pelemparan sebuah mata uang, karena bentuk mata uang simetris maka munculnya angka atau gambar mempunyai peluang yang sama. Sebelumnya sudah dibahas bahwa nilai peluang munculnya gambar didekati frekuensi relatif untuk percobaan yang sangat banyak adalah ½ . Nilai 1 pada pembilang menyatakan banyak kejadian muncul gambar, sedangkan 2 pada penyebut menyatakan banyak kejadian yang mungkin, yaitu angka atau gambar.
Definisi klasik
Jika masing-masing titik sampel dalam ruang sampel s berpeluang sama untuk muncul maka peluang munculnya peristiwa A dalam ruang sampel, S adalah P(A) =
n(A) = banyak anggota atau titik sampel kejadian A
n(S) = banyak anggota atau titik sampel ruang sampel S
Frekuensi Harapan
Pada pelemparan sebuah mata uang, nilai peluang muncul gambar adalah ½. Jika pelemparan dilakukan sebanyak 40 kali maka diharapkan muncul gambar = ½ x 40 = 20 kali. Karena merupakan harapan, jadi wajar saja jika dari 40 pelemparan muncul gambar sebanyak 19 kali dan angka 21 kali. Banyak kejadian yang diharapkan dalam suatu percobaan disebut frekuensi harapan. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.Frekuensi harapan muncul kejadian A = P(A) x banyak percobaan
NOTICE: if you need this article please klik download
(jika kamu inginkan artikel ini klik download)
